分享一道原创题 极值点偏移~差值证明

已知函数.（1）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个不同的实数根,求证：2\sqrt{k+1}" data-formula-type="inline-equation">.

【资料图】

解： （1）由题知有两个极值点因为令，则有两个穿越型零点因为,令得在上单调递减；在上0,h(x)" data-formula-type="inline-equation">单调递增.则当,即时，,此时不满足有两个穿越型零点，不成立;当时,若，在时,，此时,则无零点，由于在上单调递增，故在上至多一个零点所以不满足有两个零点，不成立若,e" data-formula-type="inline-equation">,故此时a-\dfrac{1}{a(\frac{1}{a})^2}" data-formula-type="inline-equation">

故在上有一个零点又0" data-formula-type="inline-equation">故在上有一个零点故时有两个零点，在上0" data-formula-type="inline-equation">,即0,g(x)" data-formula-type="inline-equation">单调递增 在上,即单调递减 在上0" data-formula-type="inline-equation">,即0,g(x)" data-formula-type="inline-equation">递增 所以的取值范围是.

（2）易知,构造开口向上的二次函数令下面证明或时，因为所以时，0,p(x)" data-formula-type="inline-equation">单调递增，此时成立,；又时，令得故在上单调递减；在上0,p(x)" data-formula-type="inline-equation">单调递增此时成立

即或时，得证

设与交点的横坐标为，则

则{x_4}" data-formula-type="inline-equation">此时x_4-x_3" data-formula-type="inline-equation">

故原式得证.

评注：这道题的第一问难点是“找点”，利用零点存在定理说明零点的存在性，以及由单调性得出零点的个数，题目较为常规，但是左侧的点不容易找。第二问属于极值点问题中的差值证明，常见的方法有直接找点卡位，利用结论（导数常用的公式）放缩，切割线放缩，拟合函数，同构函数等等，这道题用的是拟合二次函数，构造出二次函数后问题就迎刃而解。

x>0时，二次函数的拟合效果很好，x<0时，二次函数的拟合效果较差，可以选取更为精准的反比例函数来拟合，确定一个反比例函数模型，通过设参数，再令f(x)小于此反比例函数恒成立，求出参数的范围，选取一个合适的参数值，也就是说本题可以再进行二次创作，得到新的更为紧致的问题。有关试题命制是一门很深的学问，教师不光要会做题，还要会出原创题。一道真正的优质的原创题的命制是不容易的，笔者会加强学习，后续会在这里分享一些原创题。